Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ на $x^{2} + 2 x - 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ на $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.3.2

Разложим $x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 1.1.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.4

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.5

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.5.2

Разделим $x + 5$ на $1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6.1.2

Разделим $(A) (x + 3)$ на $1$ .

$x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6.3

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6.4

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6.4.2

Разделим $(B) (x - 1)$ на $1$ .

$x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

Этап 2.3.1.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

Этап 2.3.1.1.6.6

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

Этап 2.3.1.1.6.7

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

Этап 2.3.1.1.7

Перенесем $3 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

Этап 2.3.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.3.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 2.3.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 2.3.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 2.3.1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 2.3.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $5 = 3 A - 1 B$ на $1 - B$ .

$5 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.2.1

Упростим $3 (1 - B) - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$5 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$5 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1.4

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.2.2.1.2

Вычтем $B$ из $- 3 B$ .

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3

Решим относительно $B$ в $5 = 3 - 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $3 - 4 B = 5$ .

$3 - 4 B = 5$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 4 B = 5 - 3$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.2.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3

Разделим каждый член $- 4 B = 2$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.1

Разделим каждый член $- 4 B = 2$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$B = \frac{2 (1)}{- 4}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $- \frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.2.1

Упростим $1 - (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.2.1.1

Умножим $- (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.4.2.1.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.4.2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.4.2.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{3}{2}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Этап 2.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Этап 2.3.1.5.4

Умножим $\frac{1}{x + 3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 2}$

Этап 2.3.1.5.5

Перенесем $2$ влево от $x + 3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.4

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.3.4.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.4.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Этап 2.3.8

Пусть $u_{2} = x + 3$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Пусть $u_{2} = x + 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.3.8.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.8.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.9

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Этап 2.3.10

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Этап 2.3.11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Этап 2.3.11.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C$