Математический анализ Примеры

(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5

$(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член

(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5

$(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ на

x^{2} + 2 x - 3

$x^{2} + 2 x - 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член

(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5

$(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ на

x^{2} + 2 x - 3

$x^{2} + 2 x - 3$ .

\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель

x^{2} + 2 x - 3

$x^{2} + 2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ на

1

$1$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{x^{2} + 2 x - 3}

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Этап 1.1.3.2

Разложим

x^{2} + 2 x - 3

$x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

- 3

$- 3$ , а сумма —

2

$2$ .

- 1, 3

$- 1, 3$

Этап 1.1.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

d y = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x

$d y = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

d y = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x

$d y = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

\int d y = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x

$\int d y = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

y + C_{1} = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x

$y + C_{1} = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место

A

$A$ .

\frac{A}{x - 1}

$\frac{A}{x - 1}$

Этап 2.3.1.1.2

B

$B$ .

\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен

(x - 1) (x + 3)

$(x - 1) (x + 3)$ .

\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.4

Сократим общий множитель

x - 1

$x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.5

Сократим общий множитель

x + 3

$x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.5.2

Разделим

x + 5

$x + 5$ на

1

$1$ .

x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.1

Сократим общий множитель

x - 1

$x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6.1.2

Разделим

(A) (x + 3)

$(A) (x + 3)$ на

1

$1$ .

x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6.3

Перенесем

3

$3$ влево от

A

$A$ .

x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6.4

Сократим общий множитель

x + 3

$x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 2.3.1.1.6.4.2

Разделим

(B) (x - 1)

$(B) (x - 1)$ на

1

$1$ .

x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)

$x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)

$x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

Этап 2.3.1.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1

$x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

Этап 2.3.1.1.6.6

Перенесем

- 1

$- 1$ влево от

B

$B$ .

x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B

$x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

Этап 2.3.1.1.6.7

Перепишем

- 1 B

$- 1 B$ в виде

- B

$- B$ .

x + 5 = A x + 3 A + B x - B

$x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

x + 5 = A x + 3 A + B x - B

$x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

Этап 2.3.1.1.7

Перенесем

3 A

$3 A$ .

x + 5 = A x + B x + 3 A - B

$x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

x + 5 = A x + B x + 3 A - B

$x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

Этап 2.3.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты

x

$x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

1 = A + B

$1 = A + B$

Этап 2.3.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих

x

$x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

5 = 3 A - 1 B

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 2.3.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

1 = A + B

$1 = A + B$

5 = 3 A - 1 B

$5 = 3 A - 1 B$

1 = A + B

$1 = A + B$

5 = 3 A - 1 B

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 2.3.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Решим относительно

A

$A$ в

1 = A + B

$1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде

A + B = 1

$A + B = 1$ .

A + B = 1

$A + B = 1$

5 = 3 A - 1 B

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 2.3.1.3.1.2

Вычтем

B

$B$ из обеих частей уравнения.

A = 1 - B

$A = 1 - B$

5 = 3 A - 1 B

$5 = 3 A - 1 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

5 = 3 A - 1 B

$5 = 3 A - 1 B$

Этап 2.3.1.3.2

Заменим все вхождения

A

$A$ на

1 - B

$1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.1

Заменим все вхождения

A

$A$ в

5 = 3 A - 1 B

$5 = 3 A - 1 B$ на

1 - B

$1 - B$ .

5 = 3 (1 - B) - 1 B

$5 = 3 (1 - B) - 1 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.2.1

Упростим

3 (1 - B) - 1 B

$3 (1 - B) - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

5 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B

$5 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Умножим

3

$3$ на

1

$1$ .

5 = 3 + 3 (- B) - 1 B

$5 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

3

$3$ .

5 = 3 - 3 B - 1 B

$5 = 3 - 3 B - 1 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.2.2.1.1.4

Перепишем

- 1 B

$- 1 B$ в виде

- B

$- B$ .

5 = 3 - 3 B - B

$5 = 3 - 3 B - B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

5 = 3 - 3 B - B

$5 = 3 - 3 B - B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.2.2.1.2

Вычтем

B

$B$ из

- 3 B

$- 3 B$ .

5 = 3 - 4 B

$5 = 3 - 4 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

5 = 3 - 4 B

$5 = 3 - 4 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

5 = 3 - 4 B

$5 = 3 - 4 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

5 = 3 - 4 B

$5 = 3 - 4 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3

Решим относительно

B

$B$ в

5 = 3 - 4 B

$5 = 3 - 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде

3 - 4 B = 5

$3 - 4 B = 5$ .

3 - 4 B = 5

$3 - 4 B = 5$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.2

Перенесем все члены без

B

$B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.2.1

Вычтем

3

$3$ из обеих частей уравнения.

- 4 B = 5 - 3

$- 4 B = 5 - 3$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.2.2

Вычтем

3

$3$ из

5

$5$ .

- 4 B = 2

$- 4 B = 2$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

- 4 B = 2

$- 4 B = 2$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3

Разделим каждый член

- 4 B = 2

$- 4 B = 2$ на

- 4

$- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.1

Разделим каждый член

- 4 B = 2

$- 4 B = 2$ на

- 4

$- 4$ .

\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель

- 4

$- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.2.1.2

Разделим

B

$B$ на

1

$1$ .

B = \frac{2}{- 4}

$B = \frac{2}{- 4}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = \frac{2}{- 4}

$B = \frac{2}{- 4}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = \frac{2}{- 4}

$B = \frac{2}{- 4}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1

Сократим общий множитель

2

$2$ и

- 4

$- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2

$2$ .

B = \frac{2 (1)}{- 4}

$B = \frac{2 (1)}{- 4}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

- 4

$- 4$ .

B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

B = \frac{1}{- 2}

$B = \frac{1}{- 2}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = \frac{1}{- 2}

$B = \frac{1}{- 2}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = \frac{1}{- 2}

$B = \frac{1}{- 2}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Этап 2.3.1.3.4

Заменим все вхождения

B

$B$ на

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.1

Заменим все вхождения

B

$B$ в

A = 1 - B

$A = 1 - B$ на

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ .

A = 1 - (- \frac{1}{2})

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.2.1

Упростим

1 - (- \frac{1}{2})

$1 - (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.2.1.1

Умножим

- (- \frac{1}{2})

$- (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.2.1.1.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

A = 1 + 1 (\frac{1}{2})

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.4.2.1.1.2

Умножим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ на

1

$1$ .

A = 1 + \frac{1}{2}

$A = 1 + \frac{1}{2}$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

A = 1 + \frac{1}{2}

$A = 1 + \frac{1}{2}$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.4.2.1.2

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

A = \frac{2 + 1}{2}

$A = \frac{2 + 1}{2}$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.4.2.1.4

Добавим

2

$2$ и

1

$1$ .

A = \frac{3}{2}

$A = \frac{3}{2}$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

A = \frac{3}{2}

$A = \frac{3}{2}$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

A = \frac{3}{2}

$A = \frac{3}{2}$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

A = \frac{3}{2}

$A = \frac{3}{2}$

B = - \frac{1}{2}

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.3.5

Перечислим все решения.

A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в

\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ значениями, найденными для

A

$A$ и

B

$B$ .

\frac{\frac{3}{2}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}

$\frac{\frac{3}{2}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Этап 2.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ на

\frac{1}{x - 1}

$\frac{1}{x - 1}$ .

\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 3}

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Этап 2.3.1.5.4

Умножим

\frac{1}{x + 3}

$\frac{1}{x + 3}$ на

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 2}

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 2}$

Этап 2.3.1.5.5

Перенесем

2

$2$ влево от

x + 3

$x + 3$ .

y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.4

Пусть

$u_{1} = x - 1$ . Тогда

$d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя

$u_{1}$ и

$d$

$u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть

$u_{1} = x - 1$ . Найдем

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем

$x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.3.4.1.2

По правилу суммы производная

$x - 1$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.4.1.4

Поскольку

$- 1$ является константой относительно

$x$ , производная

$- 1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.4.1.5

Добавим

$1$ и

$0$ .

$1$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью

$u_{1}$ и

$d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.5

Интеграл

$\frac{1}{u_{1}}$ по

$u_{1}$ имеет вид

$\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.6

Поскольку

$- 1$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Этап 2.3.7

Поскольку

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Этап 2.3.8

Пусть

$u_{2} = x + 3$ . Тогда

$d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя

$u_{2}$ и

$d$

$u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Пусть

$u_{2} = x + 3$ . Найдем

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Дифференцируем

$x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.3.8.1.2

По правилу суммы производная

$x + 3$ по

$x$ имеет вид

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.8.1.4

Поскольку

$3$ является константой относительно

$x$ , производная

$3$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.8.1.5

Добавим

$1$ и

$0$ .

$1$

Этап 2.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью

$u_{2}$ и

$d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.9

Интеграл

$\frac{1}{u_{2}}$ по

$u_{2}$ имеет вид

$\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Этап 2.3.10

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Этап 2.3.11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Заменим все вхождения

$u_{1}$ на

$x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Этап 2.3.11.2

Заменим все вхождения

$u_{2}$ на

$x + 3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как

$C$ .

$y = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C$