Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 25 + y^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{25 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{25 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{25 + y^{2}} (25 + y^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $25 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{25 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{25 + y^{2}} (25 + y^{2})$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{25 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{25 + y^{2}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{25 + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\int \frac{1}{5^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{5^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{5} \arctan (\frac{y}{5}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{y}{5}) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\arctan (\frac{y}{5})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} + C_{1}$ в виде $\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) = x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Каждый член в $\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) = x + K$ умножим на $5$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим каждый член $\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) = x + K$ на $5$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $y$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{y}{5}) \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

Этап 3.1.2.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\arctan (\frac{y}{5})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

Этап 3.1.2.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

Этап 3.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (\frac{y}{5}) = x \cdot 5 + K \cdot 5$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\arctan (\frac{y}{5}) = 5 \cdot x + K \cdot 5$

Этап 3.1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $K$ .

$\arctan (\frac{y}{5}) = 5 x + 5 K$

Этап 3.2

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$\frac{y}{5} = \tan (5 x + 5 K)$

Этап 3.3

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 \frac{y}{5} = 5 \tan (5 x + 5 K)$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{y}{5} = 5 \tan (5 x + 5 K)$

Этап 3.4.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 5 \tan (5 x + 5 K)$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = 5 \tan (5 x + K)$