Математический анализ Примеры

$(y - x) d x + 4 x d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $y - x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 1.4

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Этап 1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $4$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 4$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 = 4$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $4$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - 4}{N}$

Этап 4.3

Подставим $4 x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $4 x$ вместо $N$ .

$\frac{1 - 4}{4 x}$

Этап 4.3.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{- 3}{4 x}$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{4 x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{4 x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3}{4 x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{4 x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{3}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{4}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{4} \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{4} (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.4

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{4} \ln (| x |)} + C$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- \frac{3}{4} \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Изменим порядок $\ln (| x |)$ и $\frac{3}{4}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{4} \ln (| x |))} + C$

Этап 5.5.1.2

Упростим $\frac{3}{4} \ln (| x |)$ путем переноса $\frac{3}{4}$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{3}{4}})} + C$

Этап 5.5.2

Упростим $- \ln ({| x |}^{\frac{3}{4}})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1})} + C$

Этап 5.5.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1} + C$

Этап 5.5.4

Перемножим экспоненты в ${({| x |}^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3}{4} \cdot - 1} + C$

Этап 5.5.4.2

Умножим $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3 \cdot - 1}{4}} + C$

Этап 5.5.4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 3}{4}} + C$

Этап 5.5.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{3}{4}} + C$

Этап 5.5.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{3}{4}}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(y - x) d x + 4 x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y - x$ на $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$(y - x) \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $y - x$ на $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $4 x$ на $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $4 x \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Этап 6.4.2

Объединим $x$ и $\frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + \frac{x \cdot 4}{x^{\frac{3}{4}}} d y = 0$

Этап 6.5

Перенесем $x^{\frac{3}{4}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x \cdot 4 x^{- \frac{3}{4}} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $x$ на $x^{- \frac{3}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перенесем $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4}} x \cdot 4 d y = 0$

Этап 6.6.2

Умножим $x^{- \frac{3}{4}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4}} x^{1} \cdot 4 d y = 0$

Этап 6.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4} + 1} \cdot 4 d y = 0$

Этап 6.6.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{- \frac{3}{4} + \frac{4}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Этап 6.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{\frac{- 3 + 4}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Этап 6.6.5

Добавим $- 3$ и $4$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + x^{\frac{1}{4}} \cdot 4 d y = 0$

Этап 6.7

Перенесем $4$ влево от $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}} d x + 4 x^{\frac{1}{4}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{\frac{1}{4}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{\frac{1}{4}} y$ по $x$ равна $4 y \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$4 y \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.6.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$4 y (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 y (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$4 y \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.9

Объединим $4$ и $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$y \frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.10

Объединим $y$ и $\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{y (4 x^{- \frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.11

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$\frac{4 \cdot y x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.12

Перенесем $x^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 y}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.13

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.3.14

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Упростим $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{\frac{3}{4}}} - \frac{y - x}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (y - x)}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y - - x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Этап 12.1.1.2.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y + 1 x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Этап 12.1.1.2.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - y + x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 + x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Добавим $0$ и $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Перенесем $x^{\frac{3}{4}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} + x \cdot x^{- \frac{3}{4}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{- \frac{3}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{1} x^{- \frac{3}{4}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d x} + x^{1 - \frac{3}{4}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{4 - 3}{4}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.4

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{\frac{1}{4}} = 0$

Этап 12.1.2

Найдем общий множитель $x^{\frac{1}{4}}$ , который присутствует в каждом члене.

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4} + x^{\frac{1}{4}}$

Этап 12.1.3

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{4}}$ .

${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4} + u = 0$

Этап 12.1.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + u = 0$

Этап 12.1.4.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{d g}{d x})}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + u = 0$

Этап 12.1.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{d g}{d x})}^{1} + u = 0$

Этап 12.1.4.1.2

Упростим.

$\frac{d g}{d x} + u = 0$

Этап 12.1.4.2

Вычтем $\frac{d g}{d x}$ из обеих частей уравнения.

$u = - \frac{d g}{d x}$

Этап 12.1.5

Подставим $\frac{d g}{d x}$ вместо $u$ .

$x^{\frac{1}{4}} = - \frac{d g}{d x}$

Этап 12.1.6

Вычтем $x^{\frac{1}{4}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = - x^{\frac{1}{4}}$

Этап 13

Найдем первообразную $- x^{\frac{1}{4}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 13.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$g (x) = - (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C)$

Этап 13.5

Перепишем $- (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C)$ в виде $- \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$ .

$g (x) = - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $x^{\frac{5}{4}}$ и $\frac{4}{5}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{x^{\frac{5}{4}} \cdot 4}{5} + C$

Этап 15.1.2

Перенесем $4$ влево от $x^{\frac{5}{4}}$ .

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{4}} y - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 4 y x^{\frac{1}{4}} - \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} + C$