Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x - 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = (x - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int x - 1 d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} - x + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $3$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K}$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x) + 3 K}$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (\frac{x^{2}}{2} - x) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + K)}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $- x$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + K)}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + K)}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + K)}$

Этап 3.4.4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + K)}$

Этап 3.4.4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + K)}$

Этап 3.4.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + K)}$

Этап 3.4.5

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Этап 3.4.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Объединим $K$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Этап 3.4.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x (x - 2) + K \cdot 2}{2}}$

Этап 3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + K \cdot 2}{2}}$

Этап 3.4.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} + x \cdot - 2 + K \cdot 2}{2}}$

Этап 3.4.7.3

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - 2 \cdot x + K \cdot 2}{2}}$

Этап 3.4.7.4

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - 2 x + 2 K}{2}}$

Этап 3.4.8

Объединим $3$ и $\frac{x^{2} - 2 x + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}{2}}$

Этап 3.4.9

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Этап 3.4.10

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.11.2

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.4.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.11.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Этап 3.4.11.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.11.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.11.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.11.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.11.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Этап 3.4.11.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Этап 3.4.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Этап 3.4.12.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Этап 3.4.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.13.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Этап 3.4.13.2

Умножим $4$ на $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$