Математический анализ Примеры

$y d x + 2 x d y = 0$

Этап 1

Вычтем $y d x$ из обеих частей уравнения.

$2 x d y = - y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x y}$ в числитель.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$2 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $2 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (y^{2}) + \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} | x |) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y^{2} | x |)} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (y^{2} | x |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | x |$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} | x | = e^{C}$ .

$y^{2} | x | = e^{C}$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $y^{2} | x | = e^{C}$ на $| x |$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $y^{2} | x | = e^{C}$ на $| x |$ .

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Этап 5.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Этап 5.5.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ в виде $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

Этап 5.5.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ на $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

Этап 5.5.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ на $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

Этап 5.5.4.3.2

Возведем $\sqrt{| x |}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |}}$

Этап 5.5.4.3.3

Возведем $\sqrt{| x |}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1}}$

Этап 5.5.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{2}}$

Этап 5.5.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{| x |}}^{2}$ в виде $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{| x |}$ в виде ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{1}}$

Этап 5.5.4.3.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x |}$

Этап 5.5.4.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Этап 5.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Этап 5.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Этап 5.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{C | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{C | x |}}{| x |}$