Математический анализ Примеры

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 1

Запишем задачу в виде математического выражения.

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y (x^{4} - y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x^{4} - y^{2})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = x^{4} - y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x^{4} - y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x^{4} - y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.2

Поскольку $x^{4}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{4}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{2}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- (2 y)) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 2 y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.4

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y^{1}) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{1 + 1} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \cdot 1$

Этап 2.9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $x^{4} - y^{2}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + x^{4} - y^{2}$

Этап 2.9.2

Вычтем $y^{2}$ из $- 2 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{4} - 3 y^{2}$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x (x^{4} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{4} + y^{2})]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}] + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $x^{4} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + 0) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 (x^{1} x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{1 + 3} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \cdot 1$

Этап 3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $x^{4} + y^{2}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + x^{4} + y^{2}$

Этап 3.8.2

Добавим $4 x^{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 x^{4} + y^{2}$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $x^{4} - 3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $5 x^{4} + y^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $x^{4} - 3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $5 x^{4} + y^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{N}$

Этап 5.3

Подставим $x (x^{4} + y^{2})$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x (x^{4} + y^{2})$ вместо $N$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Пусть $u = y^{2}$ . Подставим $u$ вместо $y^{2}$ для всех.

$\frac{- 4 x^{4} - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{4} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{4}$ .

$\frac{4 (- x^{4}) - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

Этап 5.3.2.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$\frac{4 (- x^{4}) + 4 (- u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

Этап 5.3.2.2.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{4}) + 4 (- u)$ .

$\frac{4 (- x^{4} - u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

Этап 5.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{4} - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $- x^{4} - y^{2}$ и $x^{4} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4}$ .

$\frac{4 (- (x^{4}) - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$\frac{4 (- (x^{4}) - (y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4}) - (y^{2})$ .

$\frac{4 (- (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Этап 5.3.3.4

Перепишем $- (x^{4} + y^{2})$ в виде $- 1 (x^{4} + y^{2})$ .

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Этап 5.3.3.6

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{x}$

Этап 5.3.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4}{x}$

Этап 5.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Этап 6.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 4 \ln (| x |)$ путем переноса $- 4$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Этап 6.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Этап 6.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $y (x^{4} - y^{2})$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y (x^{4} - y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(y x^{4} + y (- y^{2})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(y x^{4} - y \cdot y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перенесем $y^{2}$ .

$(y x^{4} - (y^{2} y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.4.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$(y x^{4} - (y^{2} y^{1})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(y x^{4} - y^{2 + 1}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(y x^{4} - y^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $y x^{4} - y^{3}$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y x^{4} - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $y$ из $y x^{4} - y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y x^{4}$ .

$\frac{y (x^{4}) - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.6.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y^{3}$ .

$\frac{y (x^{4}) + y (- y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.6.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x^{4}) + y (- y^{2})$ .

$\frac{y (x^{4} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.6.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{y ({(x^{2})}^{2} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.6.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = y$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.7

Умножим $x (x^{4} + y^{2})$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Этап 7.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Этап 7.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Этап 7.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Этап 7.9

Умножим $x^{4} + y^{2}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $\frac{1}{x^{3}}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{x^{3}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int x^{4} + y^{2} d y$

Этап 9.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\int x^{4} d y + \int y^{2} d y)$

Этап 9.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \int y^{2} d y)$

Этап 9.4

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C)$

Этап 9.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{y^{3}}{3} + C)$

Этап 9.6

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.2

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}] + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.3

По правилу суммы производная $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]$ .

$\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{4} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.6

Поскольку $\frac{y^{3}}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y^{3}}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.7

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.8

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.8.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.10

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$\frac{1}{x^{3}} (4 \cdot y x^{3} + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.11

Добавим $4 y x^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} (4 y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.12

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{4}{x^{3}} (y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.13

Объединим $y$ и $\frac{4}{x^{3}}$ .

$\frac{y \cdot 4}{x^{3}} x^{3} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.14

Объединим $\frac{y \cdot 4}{x^{3}}$ и $x^{3}$ .

$\frac{y \cdot 4 x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.15

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$\frac{4 \cdot y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.16

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.16.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.16.2

Разделим $4 y$ на $1$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.17

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.17.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.17.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.18

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.19

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.19.1

Перенесем $x^{2}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.3.19.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + x^{4} y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 y + x^{4} y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 y + x^{4} y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.3

Объединим $x^{4}$ и $\frac{3}{x^{4}}$ .

$4 y + y (- \frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.4

Объединим $y$ и $\frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}$ .

$4 y - \frac{y (x^{4} \cdot 3)}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.5

Перенесем $3$ влево от $x^{4}$ .

$4 y - \frac{y (3 \cdot x^{4})}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.6

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$4 y - \frac{3 \cdot y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.7

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$4 y - \frac{3 y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.7.2

Разделим $3 y$ на $1$ .

$4 y - (3 y) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.9

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.11

Умножим $\frac{y^{3}}{3}$ на $\frac{3}{x^{4}}$ .

$4 y - 3 y - \frac{y^{3} \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.12

Перенесем $3$ влево от $y^{3}$ .

$4 y - 3 y - \frac{3 \cdot y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.13.1

Сократим общий множитель.

$4 y - 3 y - \frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.13.2

Перепишем это выражение.

$4 y - 3 y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.3.14

Вычтем $3 y$ из $4 y$ .

$y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 12.5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} - \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y \cdot y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - (y \cdot y)) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.3

Развернем $(- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} (x^{2} - y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.4.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} x^{2}) - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2 + 2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.4.1.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - (y \cdot y) x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y^{2} x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.3

Умножим $- y^{2} x^{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 1 y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.3.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.5

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.4.1.5.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y \cdot y^{2})}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.5.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.4.1.5.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{1} y^{2})}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.1.7

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.2

Вычтем $y^{2} x^{2}$ из $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.3.4.3

Добавим $- y x^{4}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.4

Объединим противоположные члены в $- y^{3} - y x^{4} + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Добавим $- y^{3}$ и $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4} + 0}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.4.2

Добавим $- y x^{4}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.5

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

Этап 13.1.5.2

Разделим $- y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y - y = 0$

Этап 13.1.6

Объединим противоположные члены в $\frac{d g}{d x} + y - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 = 0$

Этап 13.1.6.2

Добавим $\frac{d g}{d x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Этап 14

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Этап 14.3

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Этап 14.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (x) = C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

Этап 16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) + C$

Этап 16.2

Умножим $\frac{1}{x^{3}}$ на $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

Этап 16.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{4} y$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

Этап 16.3.1.2

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Этап 16.3.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Этап 16.3.2

Чтобы записать $x^{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Этап 16.3.3

Объединим $x^{4}$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x^{4} \cdot 3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Этап 16.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x^{4} \cdot 3 + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Этап 16.3.5

Перенесем $3$ влево от $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Этап 16.4

Объединим $y$ и $\frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3}}{x^{3}} + C$

Этап 16.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$

Этап 16.6

Объединим.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2}) \cdot 1}{3 x^{3}} + C$

Этап 16.7

Умножим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3 x^{3}} + C$