Математический анализ Примеры

$(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$ на $4 + x^{6}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$ на $4 + x^{6}$ .

$\frac{(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x}}{4 + x^{6}} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $4 + x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x}}{4 + x^{6}} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y} \cdot \frac{1}{4 + x^{6}}$

Этап 1.1.3.2

Умножим $\frac{x^{5}}{y}$ на $\frac{1}{4 + x^{6}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{5}}{4 + x^{6}} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{x^{5}}{4 + x^{6}}$ на $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{(4 + x^{6}) y}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(4 + x^{6}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{6})}^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{4 + {(x^{6})}^{1}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{1} = x^{6}$ . Тогда $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{1} = x^{6}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{4 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{4 + u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\frac{1}{4 + u_{1}}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(4 + u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Этап 2.3.3.3

Перенесем $6$ влево от $4 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{6 (4 + u_{1})} d u_{1}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{4 + u_{1}} d u_{1}$

Этап 2.3.5

Пусть $u_{2} = 4 + u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u_{2} = 4 + u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $4 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4 + u_{1}]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $4 + u_{1}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [4] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 2.3.5.1.3

Поскольку $4$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $4$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 2.3.5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.5.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.8

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + u_{1} |) + C_{2}$

Этап 2.3.8.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{6}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $\ln (| 4 + x^{6} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + C \cdot \frac{6}{6})$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{6}{6}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + \frac{C \cdot 6}{6})$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{6}$

Этап 3.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{2 (3)}$

Этап 3.2.2.1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Этап 3.2.2.1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{3}$

Этап 3.2.2.1.4

Перенесем $6$ влево от $C$ .

$y^{2} = \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.4.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C) \cdot 3}}{3}$

Этап 3.4.5

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + C)}}{3}$