Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ , $y (2) = 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $y$ из $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 1.4

Изменим порядок $y$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{2}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{\sin (x)}{x}$

Этап 3.4

Объединим $x$ и $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Этап 3.5.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

Этап 7

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $x^{2} y = - \cos (x) + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x^{2} y = - \cos (x) + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 9

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $2$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$1 = - \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}}$

Этап 10

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$ .

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Этап 10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Найдем значение $\cos (2)$ .

$- \frac{0.99939082}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Этап 10.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{0.99939082}{4} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Этап 10.2.1.3

Разделим $0.99939082$ на $4$ .

$- 1 \cdot 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Этап 10.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0.2498477$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Этап 10.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{4} = 1$

Этап 10.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Добавим $0.2498477$ к обеим частям уравнения.

$\frac{C}{4} = 1 + 0.2498477$

Этап 10.3.2

Добавим $1$ и $0.2498477$ .

$\frac{C}{4} = 1.2498477$

Этап 10.4

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Этап 10.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Этап 10.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$C = 4 \cdot 1.2498477$

Этап 10.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Умножим $4$ на $1.2498477$ .

$C = 4.99939082$

Этап 11

Подставим $4.99939082$ вместо $C$ в $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $4.99939082$ вместо $C$ .

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{4.99939082}{x^{2}}$