Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x}$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 1.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (| x |) + C_{1}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d y = (\ln (| x |) + C_{1}) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (| x |)$ и $d v = 1$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Этап 3.3.6

Упростим.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - x + C_{1} x + C_{5}$

Этап 3.3.7

Изменим порядок членов.

$y + C_{2} = x \ln (| x |) + C_{1} x - x + C_{5}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = x \ln (| x |) + C x - x + D$