Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \int - \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $24$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $24$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x)$

Этап 2.3.4

Умножим $24$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Этап 2.3.5

Пусть $u = 2 x + 1$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = 2 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.3.5.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $\frac{1}{u^{3}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $2$ влево от $u^{3}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 24 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Этап 2.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{- 24}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 2.3.8.1.2

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 2.3.8.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 2.3.8.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 2.3.8.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 12}{1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 2.3.8.1.2.2.4

Разделим $- 12$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 2.3.8.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Вынесем $u^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = - 12 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.8.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.8.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{- 3} d u$

Этап 2.3.9

По правилу степени интеграл $u^{- 3}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C_{2})$

Этап 2.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.1

Объединим $u^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C_{2})$

Этап 2.3.10.1.2

Перенесем $u^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.10.2

Упростим.

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C_{2}$

Этап 2.3.10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.3.1

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$y + C_{1} = 12 \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.10.3.2

Объединим $12$ и $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{2 u^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.10.3.3

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.10.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 (u^{2})} + C_{2}$

Этап 2.3.10.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.10.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{6}{u^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + K$