Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3}}{x^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{4 y^{3}}{x^{2}}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{3})}{y^{3} x^{2}}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{3})}{y^{3} x^{2}}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (4)}{x^{2}}$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (- x^{- 1} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $4 (- x^{- 1} + C_{2})$ в виде $4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - 4 \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{- 4}{x} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \frac{4}{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{2}, x, 1$

Этап 3.1.2

Так как $2 y^{2}, x, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{2}, x^{1}$ .

Этап 3.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.1.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.1.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.1.6

НОК $2, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.1.7

Множители $y^{2}$ — $y \cdot y$ , то есть $y$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ встречается $2$ раз.

Этап 3.1.8

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 3.1.9

НОК $y^{2}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot y \cdot x$

Этап 3.1.10

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} x$

Этап 3.1.11

НОК $2 y^{2}, x, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y^{2} x$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$ умножим на $2 y^{2} x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$ на $2 y^{2} x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 3.2.2.1.2

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 y^{2} x$ .

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (x)) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 3.2.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- x = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{x}$ в числитель.

$- x = \frac{- 4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Этап 3.2.3.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 y^{2} x$ .

$- x = \frac{- 4}{x} (x (2 y^{2})) + K (2 y^{2} x)$

Этап 3.2.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$- x = \frac{- 4}{x} (x (2 y^{2})) + K (2 y^{2} x)$

Этап 3.2.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- x = - 4 (2 y^{2}) + K (2 y^{2} x)$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- x = - 8 y^{2} + K (2 y^{2} x)$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x = - 8 y^{2} + 2 K y^{2} x$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x = - x$ .

$- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x = - x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $- 8 y^{2}$ .

$2 y^{2} (- 4) + 2 K y^{2} x = - x$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 K y^{2} x$ .

$2 y^{2} (- 4) + 2 y^{2} (K x) = - x$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 y^{2} (- 4) + 2 y^{2} (K x)$ .

$2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$ на $2 (- 4 + K x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$ на $2 (- 4 + K x)$ .

$\frac{2 y^{2} (- 4 + K x)}{2 (- 4 + K x)} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2} (- 4 + K x)}{2 (- 4 + K x)} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} (- 4 + K x)}{- 4 + K x} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 4 + K x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (- 4 + K x)}{- 4 + K x} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 4 + K x)}$

Этап 3.3.3.3.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4) + K x)}$

Этап 3.3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $K x$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4) - (- K x))}$

Этап 3.3.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - (- K x)$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4 - K x))}$

Этап 3.3.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - - \frac{x}{2 (4 - K x)}$

Этап 3.3.3.3.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{x}{2 (4 - K x)}$

Этап 3.3.3.3.5.3

Умножим $\frac{x}{2 (4 - K x)}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2 (4 - K x)}$

Этап 3.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$

Этап 3.3.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$ в виде $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$

Этап 3.3.5.2

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ на $\frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$

Этап 3.3.5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ на $\frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)} \sqrt{2 (4 - K x)}}$

Этап 3.3.5.3.2

Возведем $\sqrt{2 (4 - K x)}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1} \sqrt{2 (4 - K x)}}$

Этап 3.3.5.3.3

Возведем $\sqrt{2 (4 - K x)}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1} {\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1}}$

Этап 3.3.5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{2}}$

Этап 3.3.5.3.6

Перепишем ${\sqrt{2 (4 - K x)}}^{2}$ в виде $2 (4 - K x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (4 - K x)}$ в виде ${(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{({(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{1}}$

Этап 3.3.5.3.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Этап 3.3.5.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Этап 3.3.5.5

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Этап 3.3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Этап 3.3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Этап 3.3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 + K x)}}{2 (4 + K x)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 + K x)}}{2 (4 + K x)}$