Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y - x^{2} - 2 x = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} + y - 2 x = x^{2}$

Этап 1.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} + y = x^{2} + 2 x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 7.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 7.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 7.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 7.6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 7.7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Этап 7.8

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Этап 7.9

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Этап 7.10

Упростим.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Этап 8.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

Этап 8.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Этап 8.3.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Добавим $- 2 x e^{x}$ и $2 x e^{x}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Этап 8.3.3.2

Добавим $x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ и $0$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Этап 8.3.3.3

Вычтем $2 e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 0 + C}{e^{x}}$

Этап 8.3.3.4

Добавим $x^{2} e^{x}$ и $0$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + C}{e^{x}}$