Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \sqrt{x}}$ , $y (4) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Этап 2.3.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.3.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.3.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $- \frac{1}{3} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3}) x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $4$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{1} + K = 0$

Этап 4.2.4

Найдем экспоненту.

$- \frac{2}{3} \cdot 2 + K = 0$

Этап 4.2.5

Умножим $- \frac{2}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{2}{3}) + K = 0$

Этап 4.2.5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3} + K = 0$

Этап 4.2.5.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 4}{3} + K = 0$

Этап 4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{3} + K = 0$

Этап 4.3

Добавим $\frac{4}{3}$ к обеим частям уравнения.

$K = \frac{4}{3}$

Этап 5

Подставим $\frac{4}{3}$ вместо $K$ в $y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{4}{3}$ вместо $K$ .

$y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 5.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{4}{3}$