Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) \cos^{2} (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.3.1.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int - 1 u^{2} d u$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int u^{2} d u$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Перепишем $- (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + K$