Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = 1 + x^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 + x^{2}} (1 + x^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 + x^{2}} (1 + x^{2})$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d x}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 + x^{2}} d x = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\arctan (x) + C_{1} = t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (x) = t + K$

Этап 3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из арктангенса.

$x = \tan (t + K)$