Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 1 d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

Этап 2.3

Умножим $e^{- x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $e^{x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

Этап 2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

Этап 2.3.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

Этап 2.4

Упростим $e^{0} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

Этап 2.5

Изменим порядок множителей в $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x} y = \int x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ на $e^{- x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ на $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 7.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 7.3.1.3

Объединим.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 7.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$