Математический анализ Примеры

$x y y' = 1 + y^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ на $x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ на $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Этап 2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Этап 2.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Этап 2.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Этап 2.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y}{x}$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы записать $\frac{y}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y \cdot y}{x y}$

Этап 2.2.4

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{x y}$

Этап 2.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 2.4

Умножим обе части на $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\frac{1 + y^{2}}{y}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y (x)}$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Этап 2.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 2.6

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Пусть $u = 1 + y^{2}$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Пусть $u = 1 + y^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Этап 3.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Этап 3.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$2 y$

Этап 3.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 4.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Этап 4.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Этап 4.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Этап 4.4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 4.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Этап 4.6

Перепишем $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}$

Этап 4.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Этап 4.7.2

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Этап 4.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Этап 4.7.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Этап 4.7.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Этап 4.7.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.4.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Этап 4.7.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Этап 4.7.4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Этап 5.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$