Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 0.2 x y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (0.2 x y)$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 0.2 \frac{1}{y} (x y)$

Этап 1.2.2

Объединим $0.2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{0.2}{y} (x y)$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $0.2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{0.2}{y} (x y)$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{x y}{5}$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y x}{5}$

Этап 1.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y x}{5}$

Этап 1.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{5}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{5} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{5} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{5} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{1}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{10} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{10} x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{10} x^{2} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = \frac{1}{10} x^{2} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{10} x^{2} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{\frac{1}{10} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{10} x^{2} + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{10}$ и $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{10} + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{10} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{\frac{x^{2}}{10} + C}$ в виде $e^{\frac{x^{2}}{10}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{10}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{\frac{x^{2}}{10}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{10}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{10}}$