Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 3$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

Этап 2.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Этап 6.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Этап 6.3

Упростим.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 8

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $3$ вместо $y$ в $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ .

$3 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Этап 9

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$ .

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Этап 9.2

Упростим $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Этап 9.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 3$

Этап 9.2.2.2

Разделим $C$ на $1$ .

$- 1 + C = 3$

Этап 9.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$C = 3 + 1$

Этап 9.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$C = 4$

Этап 10

Подставим $4$ вместо $C$ в $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подставим $4$ вместо $C$ .

$y = x - 1 + \frac{4}{e^{x}}$