Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$ , $y (1) = 2$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 3 x^{- 2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 3 x^{- 2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ в виде $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{3}{x} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $2$ вместо $y$ в $y = - \frac{3}{x} + K$ .

$2 = - \frac{3}{1} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{3}{1} + K = 2$ .

$- \frac{3}{1} + K = 2$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим $3$ на $1$ .

$- 1 \cdot 3 + K = 2$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 + K = 2$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$K = 2 + 3$

Этап 4.3.2

Добавим $2$ и $3$ .

$K = 5$

Этап 5

Подставим $5$ вместо $K$ в $y = - \frac{3}{x} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $5$ вместо $K$ .

$y = - \frac{3}{x} + 5$