Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = 2 y^{2} t$ , $y (3) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} (2 y^{2} t)$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} t)$

Этап 1.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} t$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} (t))$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 t$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 2 t d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 2 t d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 2 t d t$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 2 t d t$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 2 t d t$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 2 t d t$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 2 t d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int t d t$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 t^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = t^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = t^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = t^{2} y + K y$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = t^{2} y + K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $t^{2} y + K y = - 1$ .

$t^{2} y + K y = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $t^{2} y + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $t^{2} y$ .

$y t^{2} + K y = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y t^{2} + y K = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y t^{2} + y K$ .

$y (t^{2} + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $y (t^{2} + K) = - 1$ на $t^{2} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $y (t^{2} + K) = - 1$ на $t^{2} + K$ .

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $t^{2} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{t^{2} + K}$

Этап 4

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $3$ вместо $t$ и $1$ вместо $y$ в $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ .

$1 = - \frac{1}{3^{2} + K}$

Этап 5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$ .

$- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$

Этап 5.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{9 + K} = 1$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$9 + K, 1$

Этап 5.3.2

Избавимся от скобок.

$9 + K, 1$

Этап 5.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$9 + K$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{1}{9 + K} = 1$ умножим на $9 + K$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{9 + K} = 1$ на $9 + K$ .

$- \frac{1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $9 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{9 + K}$ в числитель.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Этап 5.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = 1 (9 + K)$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим $9 + K$ на $1$ .

$- 1 = 9 + K$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $9 + K = - 1$ .

$9 + K = - 1$

Этап 5.5.2

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$K = - 1 - 9$

Этап 5.5.2.2

Вычтем $9$ из $- 1$ .

$K = - 10$

Этап 6

Подставим $- 10$ вместо $K$ в $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим $- 10$ вместо $K$ .

$y = - \frac{1}{t^{2} - 10}$