Математический анализ Примеры

$(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x - 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 6 y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x - 6 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Этап 1.2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $y$ , производная $- 6 y$ по $y$ равна $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6$

Этап 1.4

Вычтем $6$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 6$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $5$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 = 5$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 6 = 5$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 6$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 6 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $5$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 6 - 5}{N}$

Этап 4.3

Подставим $5 x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $5 x$ вместо $N$ .

$\frac{- 6 - 5}{5 x}$

Этап 4.3.2

Вычтем $5$ из $- 6$ .

$\frac{- 11}{5 x}$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{5 x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{5 x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{11}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{11}{5}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.4

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} \ln (| x |)} + C$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- \frac{11}{5} \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Изменим порядок $\ln (| x |)$ и $\frac{11}{5}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \ln (| x |))} + C$

Этап 5.5.1.2

Упростим $\frac{11}{5} \ln (| x |)$ путем переноса $\frac{11}{5}$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})} + C$

Этап 5.5.2

Упростим $- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1})} + C$

Этап 5.5.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1} + C$

Этап 5.5.4

Перемножим экспоненты в ${({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11}{5} \cdot - 1} + C$

Этап 5.5.4.2

Умножим $\frac{11}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Объединим $\frac{11}{5}$ и $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11 \cdot - 1}{5}} + C$

Этап 5.5.4.2.2

Умножим $11$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 11}{5}} + C$

Этап 5.5.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{11}{5}} + C$

Этап 5.5.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{11}{5}}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x - 6 y$ на $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$(x - 6 y) \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x - 6 y$ на $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $5 x$ на $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + x \frac{5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Этап 6.4.2

Объединим $x$ и $\frac{5}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{x \cdot 5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Этап 6.5

Перенесем $x^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $x^{\frac{11}{5}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1}} d y = 0$

Этап 6.6.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} d y = 0$

Этап 6.6.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

Этап 6.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

Этап 6.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} d y = 0$

Этап 6.6.5.2

Вычтем $5$ из $11$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} y + C$

Этап 8.2

Объединим $\frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ и $y$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $5 y$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}$ по $x$ равна $5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}]$ .

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ .

$5 y \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{6}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{6}{5}}$ .

$5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{6}{5}}$ .

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{6}{5}$ .

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 y (- x^{\frac{6}{5} \cdot - 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.5.2

Умножим $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.2.1

Объединим $\frac{6}{5}$ и $- 2$ .

$5 y (- x^{\frac{6 \cdot - 2}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.5.2.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$5 y (- x^{\frac{- 12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.9.2

Вычтем $5$ из $6$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{1}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.10

Объединим $\frac{6}{5}$ и $x^{\frac{1}{5}}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} \frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.11

Объединим $\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}$ и $x^{- \frac{12}{5}}$ .

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{1}{5}} x^{- \frac{12}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.12

Умножим $x^{\frac{1}{5}}$ на $x^{- \frac{12}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.12.1

Перенесем $x^{- \frac{12}{5}}$ .

$5 y (- \frac{6 (x^{- \frac{12}{5}} x^{\frac{1}{5}})}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{12}{5} + \frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 12 + 1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.12.4

Добавим $- 12$ и $1$ .

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.13

Перенесем $x^{- \frac{11}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 y (- \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.14

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 y \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.15

Объединим $- 5$ и $\frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ .

$y \frac{- 5 \cdot 6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.16

Умножим $- 5$ на $6$ .

$y \frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.17

Объединим $y$ и $\frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{y \cdot - 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.18

Перенесем $- 30$ влево от $y$ .

$\frac{- 30 \cdot y}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.19

Вынесем множитель $5$ из $- 30 y$ .

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.20.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{\frac{11}{5}}$ .

$\frac{5 (- 6 y)}{5 (x^{\frac{11}{5}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.20.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.20.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.3.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Упростим $\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} - \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - (x - 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x - (- 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Этап 12.1.1.2.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x + 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Объединим противоположные члены в $- 6 y - x + 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Добавим $- 6 y$ и $6 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Перенесем $x^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Умножим $x^{\frac{11}{5}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.5.2

Вычтем $5$ из $11$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Этап 12.1.1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

Этап 13.3

Вынесем $x^{\frac{6}{5}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (x) = \int {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1} d x$

Этап 13.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{\frac{6}{5} \cdot - 1} d x$

Этап 13.4.2

Умножим $\frac{6}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Объединим $\frac{6}{5}$ и $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{6 \cdot - 1}{5}} d x$

Этап 13.4.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{- 6}{5}} d x$

Этап 13.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (x) = \int x^{- \frac{6}{5}} d x$

Этап 13.5

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{6}{5}}$ по $x$ имеет вид $- 5 x^{- \frac{1}{5}}$ .

$g (x) = - 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$

Этап 13.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Перепишем $- 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$ в виде $- 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$ .

$g (x) = - 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Этап 13.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.2.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$g (x) = \frac{- 5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Этап 13.6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (x) = - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$