Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y + y^{3}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y + y^{3}}$ .

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + y^{3}} (y + y^{3})$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + y^{3}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y + y^{3}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + y^{3}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{1} + y^{3}}$

Этап 2.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{1}{y \cdot 1 + y^{3}}$

Этап 2.2.1.1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \cdot y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.1.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y \cdot y^{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot (1 + y^{2})}$

Этап 2.2.1.1.1.5

Умножим $y$ на $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{y (1 + y^{2})}$

Этап 2.2.1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $y (1 + y^{2})$ .

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y (1 + y^{2}))}{y (1 + y^{2})} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.5

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 + y^{2})}{1 + y^{2}} = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (y (1 + y^{2}))}{y} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.6.1.2

Разделим $A (1 + y^{2})$ на $1$ .

$1 = A (1 + y^{2}) + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.6.4

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A + A y^{2} + \frac{(B y + C) (y (1 + y^{2}))}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.6.4.2

Разделим $(B y + C) (y)$ на $1$ .

$1 = A + A y^{2} + (B y + C) (y)$

Этап 2.2.1.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A + A y^{2} + B y \cdot y + C y$

Этап 2.2.1.1.6.6

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.6.1

Перенесем $y$ .

$1 = A + A y^{2} + B (y \cdot y) + C y$

Этап 2.2.1.1.6.6.2

Умножим $y$ на $y$ .

$1 = A + A y^{2} + B y^{2} + C y$

Этап 2.2.1.1.7

Перенесем $A$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y + A$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 2.2.1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 2.2.1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 2.2.1.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 2.2.1.3.4

Решим относительно $B$ в $0 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 2.2.1.3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 2.2.1.3.5

Решим систему уравнений.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Этап 2.2.1.3.6

Перечислим все решения.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y} + \frac{B y + C}{1 + y^{2}}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- 1 y + 0}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{y} + \frac{(- 1) \cdot y + 0}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.2.1

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- y + 0}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.5.2.2

Добавим $- y$ и $0$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- y}{1 + y^{2}}$

Этап 2.2.1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{y} - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2.5

Пусть $u = 1 + y^{2}$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Пусть $u = 1 + y^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Дифференцируем $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Этап 2.2.5.1.2

По правилу суммы производная $1 + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.5.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Этап 2.2.5.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$2 y$

Этап 2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Этап 2.2.6.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Этап 2.2.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Этап 2.2.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Этап 2.2.9

Упростим.

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $1 + y^{2}$ .

$\ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.11

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| y |) = x + C$