Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = (1 + 2 x) \sqrt{y}$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} ((1 + 2 x) \sqrt{y})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\sqrt{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\sqrt{y}$ из $(1 + 2 x) \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 2 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Этап 2.2.1.2

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

Этап 2.2.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Этап 2.2.1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 1 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x^{2} + x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ на $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $y^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$y = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем ${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ в виде $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Развернем $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1

Объединим.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{2 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4

Объединим.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.5.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.7

Объединим.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.8

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.9

Объединим.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x \cdot x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.10

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.10.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.10.2

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.11

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.12

Умножим $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.12.1

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.12.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.12.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.12.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.12.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.12.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.13

Умножим $\frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.13.1

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.13.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.14

Объединим.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.15

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.16

Умножим $\frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.16.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.16.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.17

Умножим $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.17.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.17.2

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.17.3

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.17.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.17.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.17.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} K + x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2.2

Добавим $x^{3}$ и $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} K + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4

Добавим $x^{2} K$ и $K x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.4.2

Добавим $K x^{2}$ и $K x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + 2 K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.5

Добавим $x K$ и $K x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.1

Изменим порядок $x$ и $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + K x + K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.5.2

Добавим $K x$ и $K x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.6

Разобьем дробь $\frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$ на две дроби.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.7

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.7.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.7.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.7.4

Вынесем множитель $x$ из $2 K x$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.7.5

Вынесем множитель $x$ из $2 K x^{2}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.7.6

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x (2 x^{2})$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.7.7

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.7.8

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K)$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.7.9

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.4

Упростим $\frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K + 2 K x + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.4.2

Перенесем $2 K$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K x + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.4.3

Перенесем $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 K x + 2 x^{2} + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ .

$1 = \frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$ .

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$

Этап 6.2

Упростим $\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K$ и $0$ .

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

Этап 6.2.2

Добавим $K \cdot 0$ и $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Изменим порядок $0 \cdot K$ и $K$ .

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K + 0 \cdot K)}{4} + K = 1$

Этап 6.2.2.2

Добавим $K$ и $0 \cdot K$ .

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

Этап 6.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ .

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4} + K = 1$

Этап 6.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 (1)} + K = 1$

Этап 6.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 \cdot 1} + K = 1$

Этап 6.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{1} + K = 1$

Этап 6.2.3.1.2.4

Разделим $0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ на $1$ .

$0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

Этап 6.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 (0 + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

Этап 6.2.3.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 (0 + 2 \cdot 0 + K) + K = 1$

Этап 6.2.3.2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$0 (0 + 0 + K) + K = 1$

Этап 6.2.3.3

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 (0 + K) + K = 1$

Этап 6.2.3.3.2

Добавим $0$ и $K$ .

$0 K + K = 1$

Этап 6.2.3.4

Умножим $0$ на $K$ .

$0 + K = 1$

Этап 6.2.4

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 1$

Этап 7

Подставим $1$ вместо $K$ в $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $1$ вместо $K$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 1 x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

Этап 7.2

Добавим $1 x$ и $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K$

Этап 7.3

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.4

Объединим $K$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}$

Этап 7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x) + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{1 + 3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.2.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$y = \frac{x^{4} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x^{1}) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2 + 1} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.3.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.3.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 (x \cdot x) + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + K \cdot 4}{4}$

Этап 7.6.4

Перенесем $4$ влево от $K$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + 4 K}{4}$