Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = e^{2 t}$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $t$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{2 t} d t$

Этап 1.2

Пусть $u_{1} = 2 t$ . Тогда $d u_{1} = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть $u_{1} = 2 t$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 1.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 1.3

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Этап 1.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Этап 1.5

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1})$

Этап 1.6

Упростим.

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1}$

Этап 1.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 t$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d x = (\frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}) d t$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d x = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Этап 3.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

Этап 3.3.3

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Тогда $d u_{2} = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 3.3.3.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Этап 3.3.4

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Этап 3.3.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d t$

Этап 3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Этап 3.3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

Этап 3.3.7

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d t$

Этап 3.3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + C_{1} t + C_{4}$

Этап 3.3.9

Упростим.

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C_{1} t + C_{5}$

Этап 3.3.10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 t$ .

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{2 t} + C_{1} t + C_{5}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$x = \frac{1}{4} e^{2 t} + C t + D$