Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{5 e^{y}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{9 x^{8}}{5 e^{y}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $5 e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{9 x^{8}}{e^{y} \cdot 5}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{9 x^{8}}{e^{y} \cdot 5}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{5}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$e^{y} d y = \frac{9 x^{8}}{5} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int e^{y} d y = \int \frac{9 x^{8}}{5} d x$

Этап 2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{9 x^{8}}{5} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{9}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{9}{5}$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = \frac{9}{5} \int x^{8} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9}{5} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{9}{5} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$ в виде $\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{9}{5}$ на $\frac{1}{9}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9}{5 \cdot 9} x^{9} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $5$ на $9$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9}{45} x^{9} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Сократим общий множитель $9$ и $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9 (1)}{45} x^{9} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 5} x^{9} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{y} + C_{1} = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 5} x^{9} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{5} x^{9} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = \frac{1}{5} x^{9} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{9}}{5} + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{9}}{5} + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{9}}{5} + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (\frac{x^{9}}{5} + K)$