Математический анализ Примеры

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} = \frac{2 x}{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $\frac{2 x}{y}$ из обеих частей уравнения.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} - \frac{2 x}{y} = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Добавим $\frac{1}{y}$ к обеим частям уравнения.

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y}$

Этап 1.1.2.2

Добавим $\frac{2 x}{y}$ к обеим частям уравнения.

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$

Этап 1.1.3

Разделим каждый член $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разделим каждый член $2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ на $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Этап 1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Этап 1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y \cdot 2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \cdot y} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.1.3.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 (x)}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.1.3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.1.3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $\frac{x}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $\frac{x}{y}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{y \cdot 2}$

Этап 1.2.2.2

Изменим порядок множителей в $y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{2 y}$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x \cdot 2}{2 y}$

Этап 1.2.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{2 y}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + 2 x d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int 2 x d x)$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int 2 x d x)$

Этап 2.3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 \int x d x)$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = x + x^{2} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{x + x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + K}$