Математический анализ Примеры

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ на $e^{5 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ на $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $e^{5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{5 x}}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{5 x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$y + C_{1} = 7 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{- 5 x} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $e^{- 5 x}$ на $1$ .

$y + C_{1} = 7 \int e^{- 5 x} d x$

Этап 2.3.3

Пусть $u = - 5 x$ . Тогда $d u = - 5 d x$ , следовательно $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Пусть $u = - 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Дифференцируем $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 2.3.3.1.2

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5$

Этап 2.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Этап 2.3.4.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = 7 \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 7 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Этап 2.3.6

Умножим $- 1$ на $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 7 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 7$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{5} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.10

Упростим.

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.11

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + K$