Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x) - 20 x^{4}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (\csc^{2} (x) - 20 x^{4}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \csc^{2} (x) - 20 x^{4} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) - 20 x^{4} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x + \int - 20 x^{4} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} + \int - 20 x^{4} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 20$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 20$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - 20 \int x^{4} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - 20 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$y + C_{1} = - \cot (x) - 20 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $- 20$ и $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + \frac{- 20}{5} x^{5} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $- 20$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 20$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + \frac{5 \cdot - 4}{5} x^{5} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + \frac{5 \cdot - 4}{5 (1)} x^{5} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = - \cot (x) + \frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 1} x^{5} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = - \cot (x) + \frac{- 4}{1} x^{5} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) - 4 x^{5} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - 4 x^{5} - \cot (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - 4 x^{5} - \cot (x) + K$