Математический анализ Примеры

$(2 x^{3} y^{2} - e^{x}) d x + (x^{4} y + 2 y^{3}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2} - e^{x}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x^{3} y^{2} - e^{x}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $2 x^{3} y^{2}$ по $y$ равна $2 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $- e^{x}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $4 x^{3} y$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{4} y + 2 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} y + 2 y^{3}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{4} y + 2 y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{4} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.3.3

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.4

Поскольку $2 y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3} + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $4 y x^{3}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3}$

Этап 2.5.2

Изменим порядок множителей в $4 y x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4 x^{3} y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $4 x^{3} y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x^{3} y = 4 x^{3} y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$4 x^{3} y = 4 x^{3} y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} y + 2 y^{3} d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{4} y + 2 y^{3}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x^{4} y d y + \int 2 y^{3} d y$

Этап 5.2

Поскольку $x^{4}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x^{4}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{4} \int y d y + \int 2 y^{3} d y$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 y^{3} d y$

Этап 5.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 \int y^{3} d y$

Этап 5.5

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Этап 5.7.2

Объединим $\frac{x^{4}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Этап 5.7.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + 2 \frac{y^{4}}{4} + C$

Этап 5.7.4

Объединим $2$ и $\frac{y^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{4} + C$

Этап 5.7.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 (y^{4})}{4} + C$

Этап 5.7.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{2 \cdot 2} + C$

Этап 5.7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{2 \cdot 2} + C$

Этап 5.7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$

Этап 5.8

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{x^{4}}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.3.3

Поскольку $\frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{4} y^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{y^{2}}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.3.5

Объединим $4$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.3.6

Объединим $\frac{4 y^{2}}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 y^{2} x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.3.7

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y^{2} x^{3}$ .

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y^{2} x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.3.7.2.4

Разделим $2 y^{2} x^{3}$ на $1$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.4

Поскольку $\frac{1}{2} y^{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} y^{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 y^{2} x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x^{3} + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $2 y^{2} x^{3}$ и $0$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 8.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{3} y^{2} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $2 x^{3} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x} - 2 x^{3} y^{2}$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} y^{2} - e^{x} - 2 x^{3} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $2 x^{3} y^{2}$ из $2 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Этап 9.1.2.2

Вычтем $e^{x}$ из $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Этап 10

Найдем первообразную $- e^{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Этап 10.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Этап 10.4

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Этап 10.5

Упростим.

$g (x) = - e^{x} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Этап 12.2

Объединим $\frac{x^{4}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Этап 12.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} - e^{x} + C$