Математический анализ Примеры

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Этап 1

Запишем задачу в виде математического выражения.

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Этап 2.2

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 6 x^{2} + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} + y^{3}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $6 x^{2} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $12 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $12 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 12 x$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x = 12 x$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $12 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{12 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{M}$

Этап 5.3

Подставим $2 x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $2 x y$ вместо $M$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{2 x y}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $12 x - 1 \cdot 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $12 x$ .

$\frac{x \cdot 12 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (12 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x (12 - 2)}{2 x y}$

Этап 5.3.2.3

Вычтем $2$ из $12$ .

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{2 y}$

Этап 5.3.4

Подставим $2 x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (y)}$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Этап 5.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{5}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int \frac{5}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{5 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{5 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 6.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{5 \ln (| y |)} + C$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим $5 \ln (| y |)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{5})} + C$

Этап 6.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{5} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $y^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2 x y$ на $y^{5}$ .

$2 x y \cdot y^{5} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2

Умножим $y$ на $y^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем $y^{5}$ .

$2 x (y^{5} y) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2.2

Умножим $y^{5}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 x (y^{5} y^{1}) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x y^{5 + 1} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.2.3

Добавим $5$ и $1$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $6 x^{2} + y^{3}$ на $y^{5}$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) y^{5} d y = 0$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3} y^{5}) d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $y^{3}$ на $y^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3 + 5}) d y = 0$

Этап 7.5.2

Добавим $3$ и $5$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{8}) d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{6} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = 2 x y^{6}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $2 y^{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 y^{6}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 y^{6} \int x d x$

Этап 9.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 9.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 9.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{6} \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 9.3.2.2

Объединим $y^{6}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{6} \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Этап 9.3.2.3

Перенесем $2$ влево от $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{6}}{2} x^{2} + C$

Этап 9.3.2.4

Умножим $2$ на $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Этап 9.3.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Этап 9.3.2.5.2

Разделим $y^{6}$ на $1$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $y^{6} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $y^{6} x^{2}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Этап 12.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$x^{2} (6 y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Этап 12.3.3

Перенесем $6$ влево от $x^{2}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 6 y^{5} x^{2} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $6 y^{5} x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Этап 13.1.2

Объединим противоположные члены в $6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $6 x^{2} y^{5}$ и $- 6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y^{5} x^{2} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Этап 13.1.2.2

Вычтем $6 y^{5} x^{2}$ из $6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8} + 0$

Этап 13.1.2.3

Добавим $y^{8}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$

Этап 14

Найдем первообразную $y^{8}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y^{8}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{8} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{8} d y$

Этап 14.3

По правилу степени интеграл $y^{8}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{9} y^{9}$ .

$g (y) = \frac{1}{9} y^{9} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{1}{9} y^{9} + C$

Этап 16

Объединим $\frac{1}{9}$ и $y^{9}$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{y^{9}}{9} + C$