Математический анализ Примеры

$2 (y d) x = (1 + x) d y$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$(1 + x) d y = 2 y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1 + x$ из $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Этап 3.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(1 + x) y} y d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{1 + x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| 1 + x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| 1 + x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{2}) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| 1 + x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{2}) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Умножим обе части на ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Этап 5.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Сократим общий множитель ${(1 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Этап 5.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Этап 5.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Упростим $e^{C} {(1 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1

Перепишем ${(1 + x)}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 + x)$ .

$| y | = e^{C} ((1 + x) (1 + x))$

Этап 5.5.4.1.2

Развернем $(1 + x) (1 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} (1 (1 + x) + x (1 + x))$

Этап 5.5.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x))$

Этап 5.5.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Этап 5.5.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Этап 5.5.4.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Этап 5.5.4.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x \cdot x)$

Этап 5.5.4.1.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x^{2})$

Этап 5.5.4.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + 2 x + x^{2})$

Этап 5.5.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Этап 5.5.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.5.1

Умножим $e^{C}$ на $1$ .

$| y | = e^{C} + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Этап 5.5.4.1.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| y | = e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$

Этап 5.5.4.1.6

Изменим порядок множителей в $e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$ .

$| y | = e^{C} + 2 x e^{C} + x^{2} e^{C}$

Этап 5.5.4.1.7

Перенесем $e^{C}$ .

$| y | = 2 x e^{C} + x^{2} e^{C} + e^{C}$

Этап 5.5.4.1.8

Изменим порядок $2 x e^{C}$ и $x^{2} e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C}$

Этап 5.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C})$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm (x^{2} C + 2 x C + C)$