Математический анализ Примеры

$y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y (2 x - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x - y)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = 2 x - y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x - y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $2 x - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 1 \cdot 1) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 1 + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.6.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \cdot 1$

Этап 1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Умножим $2 x - y$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + 2 x - y$

Этап 1.3.8.2

Вычтем $y$ из $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2} + 1)]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.5

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x - 2 y = - 2 x$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x - 2 y = - 2 x$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $2 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $y (2 x - y)$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y (2 x - y)$ вместо $M$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x - (2 x) - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 y}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (y)}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x) + 2 (y)$ .

$\frac{2 (- 2 x + y)}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $- 2 x + y$ и $2 x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) + y)}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- y))}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$\frac{2 (- (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.3.4

Перепишем $- (2 x - y)$ в виде $- 1 (2 x - y)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.3.5

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Этап 4.3.3.6

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Этап 4.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Этап 4.3.5

Подставим $y (2 x - y)$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y (2 x - y)$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$(2 x - y) \frac{1}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $2 x - y$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $- x^{2} - y^{2} - 1$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.11

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.13

Перепишем $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ в виде $- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x - y}{y} d x - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x - y}{y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{2 x - y}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} + \frac{- y}{y} d x$

Этап 8.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Этап 8.3.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int - 1 d x$

Этап 8.4

Поскольку $\frac{2}{y}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 8.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Этап 8.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Этап 8.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Этап 8.8

Упростим.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y \cdot 2} - x + C$

Этап 8.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 \cdot y} - x + C$

Этап 8.9.2

Умножим $2$ на $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Этап 8.9.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.3.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Этап 8.9.3.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{2}}{y}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 11.4

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ относительно $y$ равна $0$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 11.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 11.6.2.2

Добавим $- \frac{x^{2}}{y^{2}}$ и $0$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 11.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Добавим $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Добавим $0$ и $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Чтобы записать $\frac{d g}{d y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.2

Приравняем числитель к нулю.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1 = 0$

Этап 12.1.3

Решим уравнение относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + 1 = - y^{2}$

Этап 12.1.3.1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$

Этап 12.1.3.2

Разделим каждый член $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ на $y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.1

Разделим каждый член $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ на $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Этап 12.1.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Этап 12.1.3.2.2.1.2

Разделим $\frac{d g}{d y}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Этап 12.1.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Этап 12.1.3.2.3.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 + \frac{- 1}{y^{2}}$

Этап 12.1.3.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$

Этап 13

Найдем первообразную $- 1 - \frac{1}{y^{2}}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Этап 13.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int - 1 d y + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Этап 13.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = - y + C + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Этап 13.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - y + C - \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Этап 13.6

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (y) = - y + C - \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Этап 13.7

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Этап 13.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{- 2} d y$

Этап 13.8

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - y + C - (- y^{- 1} + C)$

Этап 13.9

Упростим.

$g (y) = - y - - \frac{1}{y} + C$

Этап 13.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = - y + 1 \frac{1}{y} + C$

Этап 13.10.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $1$ .

$g (y) = - y + \frac{1}{y} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x - y + \frac{1}{y} + C$