Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y + 1$

Этап 1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x + 1$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x} + e^{2 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x} + e^{2 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} + e^{2 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} + e^{2 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Этап 7.3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Этап 7.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int e^{2 x} d x$

Этап 7.5

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Этап 7.6

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Этап 7.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{2 x} d x$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Этап 7.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Этап 7.9

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{2 x} d x$

Этап 7.10

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Тогда $d u_{2} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7.11

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 7.12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.13

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 7.14

Упростим.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 7.15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ на $e^{2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ на $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.2.2

Объединим $\frac{x}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.2.3

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.2.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.3

Чтобы записать $\frac{e^{2 x}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Умножим $\frac{e^{2 x}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{- e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.6

Добавим $- e^{2 x}$ и $e^{2 x} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Изменим порядок $e^{2 x}$ и $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{- e^{2 x} + 2 \cdot e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.6.2

Добавим $- e^{2 x}$ и $2 \cdot e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Чтобы записать $\frac{x e^{2 x}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.2.1

Умножим $\frac{x e^{2 x}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.4.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.4.1.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x e^{2 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.4.1.2

Умножим на $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.4.1.3

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2 + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.4.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.5

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.6

Объединим $C$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.8.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.8.3

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.7.8.4

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.9

Умножим $\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ на $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$

Этап 8.3.10

Изменим порядок множителей в $\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$