Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + e^{- x} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $e^{- x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = - e^{- x}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = - e^{- x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - e^{- x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - e^{- x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int e^{- x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

Этап 2.3.4.2

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} d u$

Этап 2.3.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$y + C_{1} = e^{- x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = e^{- x} + K$