Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Этап 2.3.1.2

Умножим $\csc (x) \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Этап 2.3.1.2.2

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Этап 2.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = \int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Этап 2.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Этап 2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) - \csc (x) \cot (x) d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Этап 2.3.3

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - \int \csc (x) \cot (x) d x$

Этап 2.3.5

Поскольку производная $- \csc (x)$ равна $\csc (x) \cot (x)$ , интеграл $\csc (x) \cot (x)$ равен $- \csc (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - (- \csc (x) + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$y + C_{1} = - \cot (x) + \csc (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \cot (x) + \csc (x) + K$