Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{2} + 5$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (8 x^{2} + 5) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 8 x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 8 x^{2} + 5 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 8 x^{2} d x + \int 5 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 8 \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 5 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{8 x^{3}}{3} + 5 x + C_{4}$

Этап 2.3.5.3

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + 5 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{8}{3} x^{3} + 5 x + K$