Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{x^{2}}{y^{2} - 2}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2} - 2} = \frac{1}{2 y}$

Этап 1.1.2

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$x^{2} \frac{d y}{d x} (2 y) = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Этап 1.1.3

Решим уравнение относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $y^{2} - 2$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = y^{2} - 2$

Этап 1.1.3.2

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ на $x^{2} \cdot 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ на $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.2.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} \cdot 2} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.3.1.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{2} \cdot 2 y}$

Этап 1.1.3.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Этап 1.1.3.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Этап 1.1.3.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2} y}$

Этап 1.1.3.2.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{2} y}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $\frac{y}{2 x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y}$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x^{2} y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 y x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\frac{y}{2 x^{2}}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $\frac{1}{x^{2} y}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{x^{2} y \cdot 2}$

Этап 1.2.3.3

Изменим порядок множителей в $x^{2} y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 2}{2 x^{2} y}$

Этап 1.2.5

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 x^{2} y}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{2 y}{y^{2} - 2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} (\frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{y^{2} - 2}{2 y}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y x^{2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y (x^{2})}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $y^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u = y^{2} - 2$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = y^{2} - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $y^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

Этап 2.2.2.1.2

По правилу суммы производная $y^{2} - 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 2.2.2.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 y + 0$

Этап 2.2.2.1.5

Добавим $2 y$ и $0$ .

$2 y$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.5.3

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2} - 2$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Перепишем $- x^{- 1} + C_{2}$ в виде $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y^{2} - 2 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y^{2} - 2 |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 2 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Этап 3.3.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2$

Этап 3.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \frac{1}{x} + C}$ в виде $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 2}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \frac{1}{x}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt{C e^{- \frac{1}{x}} + 2}$