Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + x}{x^{2} y + y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x}{x^{2} y + y}$

Этап 1.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x^{1}}{x^{2} y + y}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x \cdot 1}{x^{2} y + y}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (y) + x \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{x^{2} y + y}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y}$

Этап 1.2.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y^{1}}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y \cdot 1}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2} + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{x}{x^{2} + 1}$ на $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(x^{2} + 1) y}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $y + 1$ из $x (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим $y$ на $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Этап 2.2.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Этап 2.2.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Этап 2.2.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Этап 2.2.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Этап 2.2.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.5

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.5.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$