Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем дробь $\frac{y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}$

Этап 1.2

Предположим, что $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Этап 1.3

Объединим $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ и $\sqrt{x^{2}}$ под одним знаком корня.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.4

Разделим $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разобьем дробь $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.5

Перепишем $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 + V^{2}}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$

Этап 6.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в $V + \sqrt{1 + V^{2}} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{1 + V^{2}}$

Этап 6.1.1.1.2.2

Добавим $0$ и $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$

Этап 6.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{1 + V^{2}}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Объединим.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

Этап 6.1.3.2

Сократим общий множитель $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} x}$

Этап 6.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Пусть $V = \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d V = \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Упростим $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Переставляем члены.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2.2

Сократим общий множитель $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \sec (t) d t = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (V)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| \sec (\arctan (V)) + \tan (\arctan (V)) |) = \ln (| x |) + C$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$

Этап 8

Решим $\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) = \ln (| x |) + C$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 8.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sec (\arctan (\frac{y}{x})) + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \frac{y}{x})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (\frac{y}{x})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \frac{y}{x})$ . Следовательно, $\sec (\arctan (\frac{y}{x}))$ равно $\sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{y}{x}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.5

Перепишем $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x^{2} + y^{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.5.2

Вынесем полную степень $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + y^{2})} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\ln (\frac{| \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.7

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \tan (\arctan (\frac{y}{x})) |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.8

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} + \frac{y}{x} |}{| x |}) = C$

Этап 8.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + y}{x} |}{| x |}) = C$