Математический анализ Примеры

$\frac{t}{5} \cdot \frac{d y}{d t} = (y - 3)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{t}{5}$ и $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = y - 3$

Этап 1.1.2

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

Этап 1.1.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

Этап 1.1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$t \frac{d y}{d t} = 5 (y - 3)$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Упростим $5 (y - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t \frac{d y}{d t} = 5 y + 5 \cdot - 3$

Этап 1.1.3.2.1.2

Умножим $5$ на $- 3$ .

$t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ на $t$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ на $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d t}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} - \frac{15}{t}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y - 15}{t}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $5 y - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y) - 15}{t}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 15$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y + 5 \cdot - 3}{t}$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $5$ из $5 y + 5 \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y - 3)}{t}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{5 (y - 3)}{t}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $y - 3$ из $5 (y - 3)$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{5}{t}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y - 3} d y = \frac{5}{t} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int \frac{5}{t} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y - 3$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{5}{t} d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = 5 \ln (| t |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 5 \ln (| t |)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\ln (| y - 3 |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на ${| t |}^{5}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель ${| t |}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y - 3 | = e^{C} {| t |}^{5}$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} {| t |}^{5}$ .

$| y - 3 | = {| t |}^{5} e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

Этап 3.5.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm {| t |}^{5} e^{C}$ .

$y - 3 = \pm e^{C} {| t |}^{5}$

Этап 3.5.4.4

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = \pm e^{C} {| t |}^{5} + 3$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm C {| t |}^{5} + 3$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C {| t |}^{5} + 3$