Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $12 y^{2} + 2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{12 y^{2} + 2}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12 y^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2}$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2}) + 2 (1)}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = (12 y^{2} + 2) \frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Этап 1.2.2

Умножим $12 y^{2} + 2$ на $\frac{1}{2 (6 y^{2} + 1)}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{12 y^{2} + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $12 y^{2} + 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $12 y^{2}$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2}) + 2 \cdot 1}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Этап 1.2.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 y^{2}) + 2 (1)$ .

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Этап 1.2.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (6 y^{2} + 1)}{2 (6 y^{2} + 1)}$

Этап 1.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель $6 y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2} + 1}{6 y^{2} + 1}$

Этап 1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$(12 y^{2} + 2) \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(12 y^{2} + 2) d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 12 y^{2} + 2 d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 12 y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $12$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int y^{2} d y + \int 2 d y = \int d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int 2 d y = \int d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$12 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$12 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 y^{3} + 2 y + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$4 y^{3} + 2 y = x + K$