Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим $- y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Этап 2.2.1.2.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Этап 4

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $5$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ .

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

Этап 5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ .

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

Этап 5.2

Чтобы решить относительно $K$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

Этап 5.3

Перепишем $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

Этап 5.4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем уравнение в виде $5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ .

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Этап 5.4.2

Упростим $5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$25 - 20 + K = e^{0}$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $20$ из $25$ .

$5 + K = e^{0}$

Этап 5.4.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$5 + K = 1$

Этап 5.4.4

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$K = 1 - 5$

Этап 5.4.4.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$K = - 4$

Этап 6

Подставим $- 4$ вместо $K$ в $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим $- 4$ вместо $K$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$