Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} (x^{2} {(2 y - 1)}^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель ${(2 y - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель ${(2 y - 1)}^{2}$ из $x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 2 y - 1$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 2 y - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1})$ в виде $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.6.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $2 y - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 (2 y - 1), 3, 1$

Этап 3.2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.3

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 3.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.6

НОК $2, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 3$

Этап 3.2.7

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 3.2.8

Множителем $2 y - 1$ является само значение $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) = 2 y - 1$

$(2 y - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.9

НОК $2 y - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 y - 1$

Этап 3.2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$6 (2 y - 1)$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ умножим на $6 (2 y - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ на $6 (2 y - 1)$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 (2 y - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 (2 y - 1)}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем множитель $2 (2 y - 1)$ из $6 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) (3)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 = 6 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$- 3 = 3 (2) \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 = 3 \cdot 2 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y) + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Этап 3.3.3.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y - 1)$

Этап 3.3.3.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y) + 6 K \cdot - 1$

Этап 3.3.3.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y + 6 K \cdot - 1$

Этап 3.3.3.1.10

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y - 6 K$

Этап 3.3.3.1.11

Умножим $6$ на $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$ .

$4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$

Этап 3.4.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $2 x^{3}$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{3} y + 12 K y - 6 K = - 3 + 2 x^{3}$

Этап 3.4.2.2

Добавим $6 K$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{3} y + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $4 y$ из $4 x^{3} y + 12 K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $4 y$ из $4 x^{3} y$ .

$4 y (x^{3}) + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $4 y$ из $12 K y$ .

$4 y (x^{3}) + 4 y (3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $4 y$ из $4 y (x^{3}) + 4 y (3 K)$ .

$4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ на $4 (x^{3} + 3 K)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ на $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.4.2.2

Сократим общий множитель $x^{3} + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.4.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.4.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.4.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.4.3.1.3

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 K$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.4.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Этап 3.4.4.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Этап 3.4.4.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{3 K}{2 (x^{3} + 3 K)}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + K)} + \frac{K}{2 (x^{3} + K)}$