Математический анализ Примеры

$\frac{d v}{d t} + 3 v = 0$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 3 d t}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{3 t + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 t}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{3 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d v}{d t} + e^{3 t} (3 v) = e^{3 t} \cdot 0$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{3 t} \frac{d v}{d t} + 3 e^{3 t} v = e^{3 t} \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $e^{3 t}$ на $0$ .

$e^{3 t} \frac{d v}{d t} + 3 e^{3 t} v = 0$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{3 t} \frac{d v}{d t} + 3 e^{3 t} v = 0$ .

$e^{3 t} \frac{d v}{d t} + 3 v e^{3 t} = 0$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} v] = 0$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} v] d t = \int 0 d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{3 t} v = \int 0 d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $0$ по $t$ имеет вид $0$ .

$e^{3 t} v = 0 + C$

Этап 6.2

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{3 t} v = C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{3 t} v = C$ на $e^{3 t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{3 t} v = C$ на $e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} v}{e^{3 t}} = \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{3 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{3 t} v}{e^{3 t}} = \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{C}{e^{3 t}}$