Математический анализ Примеры

$x^{2} d x + y e d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x^{2} d x$ из обеих частей уравнения.

$y e d y = - x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y e d y = \int - x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $e$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $e$ из-под знака интеграла.

$e \int y d y = \int - x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Объединим $e$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Перепишем $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{e}{2} y^{2} = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2}) = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{e}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{2}{e} \cdot \frac{e y^{2}}{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Объединим.

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $\frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3}) + \frac{2}{e} K$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $\frac{2}{e}$ на $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2}{e} K$

Этап 3.2.2.1.1.4

Объединим $\frac{2}{e}$ и $K$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2 K}{e}$

Этап 3.2.2.1.2

Перенесем $3$ влево от $e$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $\frac{2 K}{e}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e} \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 e$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $\frac{2 K}{e}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{e \cdot 3}}$

Этап 3.4.2.2

Изменим порядок множителей в $e \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{3 e}}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

Этап 3.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{3 e}}$

Этап 3.4.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + K \cdot 3)}{3 e}}$

Этап 3.4.4.2

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$

Этап 3.4.5

Перепишем $\sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$

Этап 3.4.6

Умножим $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ на $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}} \cdot \frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$

Этап 3.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ на $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e} \sqrt{3 e}}$

Этап 3.4.7.2

Возведем $\sqrt{3 e}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} \sqrt{3 e}}$

Этап 3.4.7.3

Возведем $\sqrt{3 e}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} {\sqrt{3 e}}^{1}}$

Этап 3.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{2}}$

Этап 3.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{3 e}}^{2}$ в виде $3 e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 e}$ в виде ${(3 e)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{({(3 e)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{1}}$

Этап 3.4.7.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{3 e}$

Этап 3.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K) (3 e)}}{3 e}$

Этап 3.4.8.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$

Этап 3.4.9

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$