Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + 4 x$ solve $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$x y' = x^{2} + y$

Этап 2

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x)$

Этап 2.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 2.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1$

Этап 2.3.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$2 x + 4$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2 x + 4$

Этап 3

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$x (2 x + 4) = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Этап 4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Этап 4.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$2 x \cdot x + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Этап 4.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Этап 4.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

$2 x^{2} + 4 x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Этап 4.5

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x = 2 x^{2} + 4 x$

Этап 5

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = x^{2} + 4 x$ является решением уравнения $x y' = x^{2} + y$