Математический анализ Примеры

$(x + y) d x = x d y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x d y$ из обеих частей уравнения.

$(x + y) d x - x d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 1$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 = - 1$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 + 1}{N}$

Этап 5.3

Подставим $- x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- x$ вместо $N$ .

$\frac{1 + 1}{- x}$

Этап 5.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{- x}$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 6.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Этап 6.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Этап 6.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $(x + y) d x - x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $x + y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x + y) \frac{1}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Этап 7.2

Умножим $x + y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $- x$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y}{x^{2}} d x - x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 7.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 7.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 7.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x + y}{x^{2}} d x - \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = - \frac{1}{x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y + C$

Этап 9.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x} + g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $- \frac{y}{x} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{y}{x}$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 12.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 12.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 12.5.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 12.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вычтем $\frac{x + y}{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{x + y}{x^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (x + y)}{x^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x - y}{x^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.4

Объединим противоположные члены в $y - x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.4.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.4.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.5.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.5.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Этап 13.1.1.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Этап 13.1.1.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Этап 13.1.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Этап 13.1.2

Добавим $\frac{1}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 14

Найдем первообразную $\frac{1}{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 14.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \ln (| x |) + C$