Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x}$ for $y = x^{21}$

Этап 1

Запишем задачу в виде математического выражения.

$\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{21}$ на $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{21}}{y}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{21}}{y}$

Этап 2.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{21}}{y}$

Этап 2.2

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{21}}{y}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{21}}{y}$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = x^{21}$

Этап 2.4

Перепишем уравнение.

$y d y = x^{21} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int x^{21} d x$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{21} d x$

Этап 3.3

По правилу степени интеграл $x^{21}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{22} x^{22}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{22} x^{22} + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{22} x^{22} + K$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{22} x^{22} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{22}$ и $x^{22}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{22}}{22} + K)$

Этап 4.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{22} + 2 K$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $22$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{2 (11)} + 2 K$

Этап 4.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{x^{22}}{2 \cdot 11} + 2 K$

Этап 4.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{x^{22}}{11} + 2 K$

Этап 4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K}$

Этап 4.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы записать $2 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{11}{11}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + 2 K \cdot \frac{11}{11}}$

Этап 4.4.2

Объединим $2 K$ и $\frac{11}{11}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22}}{11} + \frac{2 K \cdot 11}{11}}$

Этап 4.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22} + 2 K \cdot 11}{11}}$

Этап 4.4.4

Умножим $11$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{22} + 22 K}{11}}$

Этап 4.4.5

Перепишем $\sqrt{\frac{x^{22} + 22 K}{11}}$ в виде $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$

Этап 4.4.6

Умножим $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Этап 4.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.1

Умножим $\frac{\sqrt{x^{22} + 22 K}}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 4.4.7.2

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

Этап 4.4.7.3

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

Этап 4.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 4.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11^{1}}$

Этап 4.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{22} + 22 K} \sqrt{11}}{11}$

Этап 4.4.8

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{22} + 22 K) \cdot 11}}{11}$

Этап 4.4.9

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(x^{22} + 22 K) \cdot 11}}{11}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + 22 K)}}{11}$

Этап 5

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{11 (x^{22} + K)}}{11}$

$y = - \frac{\sqrt{11 (x^{22} + K)}}{11}$