Математический анализ Примеры

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = e^{x} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + y^{2}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $e^{x} + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3

Поскольку $e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $e^{x}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 2.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- \frac{1}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{e^{x}}{y}$ по $x$ равна $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 2.4.3

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 2 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $y - \frac{e^{x}}{y}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $y - \frac{e^{x}}{y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $y - \frac{e^{x}}{y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $e^{x} + y^{2}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $e^{x} + y^{2}$ вместо $M$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{e^{x} + y^{2}}$

Этап 4.3.2

Умножим числитель и знаменатель дроби на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y}{y} \cdot \frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Объединим.

$\frac{y (y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y)}{y (e^{x} + y^{2})}$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y \cdot y + y (- \frac{e^{x}}{y}) + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{x}}{y}$ в числитель.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Этап 4.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y \cdot y - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y \cdot y}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Этап 4.3.5.3

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.1

Перенесем $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 (y \cdot y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Этап 4.3.5.3.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Этап 4.3.5.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Этап 4.3.5.5

Вычтем $2 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Этап 4.3.6

Вынесем множитель $y$ из $y e^{x} + y \cdot y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{x}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y \cdot y^{2}}$

Этап 4.3.6.2

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y (y^{2})}$

Этап 4.3.6.3

Вынесем множитель $y$ из $y (e^{x}) + y (y^{2})$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $- y^{2} - e^{x}$ и $e^{x} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$\frac{- (y^{2}) - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Этап 4.3.7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{x}$ .

$\frac{- (y^{2}) - (e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Этап 4.3.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2}) - (e^{x})$ .

$\frac{- (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Этап 4.3.7.4

Перепишем $- (y^{2} + e^{x})$ в виде $- 1 (y^{2} + e^{x})$ .

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Этап 4.3.7.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Этап 4.3.7.6

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Этап 4.3.7.7

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y}$

Этап 4.3.8

Подставим $e^{x} + y^{2}$ вместо $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- \ln (| y |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Этап 5.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $e^{x} + y^{2}$ на $\frac{1}{y}$ .

$(e^{x} + y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $e^{x} + y^{2}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Чтобы записать $x y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y}{y} - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Этап 6.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Этап 6.5.3

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Перенесем $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x (y \cdot y) - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Этап 6.5.3.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Этап 6.5.4

Чтобы записать $- 2 y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2} \cdot \frac{y}{y}}{y} d y = 0$

Этап 6.5.5

Объединим $- 2 y^{2}$ и $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} + \frac{- 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Этап 6.5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Этап 6.5.7

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.1

Перенесем $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y \cdot y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Этап 6.5.7.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y^{1} y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Этап 6.5.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{1 + 2}}{y}}{y} d y = 0$

Этап 6.5.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}}{y} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y \cdot y} d y = 0$

Этап 6.7.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y} d y = 0$

Этап 6.7.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y^{1}} d y = 0$

Этап 6.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1 + 1}} d y = 0$

Этап 6.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{e^{x} + y^{2}}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} + \frac{y^{2}}{y} d x$

Этап 8.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y^{2}}{y} d x$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y} d x$

Этап 8.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d x$

Этап 8.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Этап 8.3.2.3

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Этап 8.3.2.4

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y}{1} d x$

Этап 8.3.2.5

Разделим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int y d x$

Этап 8.4

Поскольку $\frac{1}{y}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int e^{x} d x + \int y d x$

Этап 8.5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + \int y d x$

Этап 8.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + y x + C$

Этап 8.7

Упростим.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{e^{x}}{y}$ по $y$ равна $e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{1}{y^{2}}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11.6.2

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{y^{2}} + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 11.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} - \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2}) - - e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.2.1

Умножим $- - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + 1 e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2.1.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- e^{x}$ и $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 0 + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- x y^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- x y^{2} + 2 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- x y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.2

Разделим $- x + 2 y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y = 0$

Этап 12.1.1.6

Объединим противоположные члены в $\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.6.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 + 2 y = 0$

Этап 12.1.1.6.2

Добавим $\frac{d g}{d y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y = 0$

Этап 12.1.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Этап 13

Найдем первообразную $- 2 y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Этап 13.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x - y^{2} + C$